数学ll 微分編③ 導関数の定義と微分の公式4選
今回は微分編part3です!(^^)!頑張っていきましょう！(^^)/
それでは,Let's start！
毎度のことですがお手元に紙とペンをご準備の上読み進めてください(^^)/
導関数の定義
この節では、導関数の定義について説明していきます.後からこんな面倒なことをやらなくても公式で解けますが,初心にかえって定義を覚えることはとても重要です.頑張りましょう!(*'▽')
まず,微分係数の復習をしましょう.前回の内容を見返すと分かると思いますが,微分係数の公式は次のようになっています.
微分係数の公式
\(f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)
次に,いきなり導関数の定義式をだしますね！
導関数の公式
\(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
これをみると導関数の定義式は微分係数とほとんど同じ考え方ということが分かりますね！
ここでいう\(f'(x)\)が導関数と呼ばれます。
以上のことを踏まえて早速問題にチャレンジしてみましょう!(^^)!
解答
(1)\begin{align}f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\\\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh+h^2}{h}\\\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(2x+h)}{h}\\\\&= \lim_{h\rightarrow 0}(2x+h)\\\\&=2x\end{align}
(2)\begin{align}f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h)-1-(2x+1)}{h}\\\\&= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h}\\\\&=2\end{align}
この内容はよく定期試験で次の関数を定義に従って微分せよという形で出題されるから覚えておきましょう!
※「定義に従って」とわざわざあるくらいだからもっと簡単に求める方法があるのでは?
実は,その通りでこの程度の関数だと簡単に公式を使って導関数を導くことが出来ます!
微分の公式1
\(y=x^n\) という形で表せる関数(n:自然数)に対し微分すると\(y'=nx^{n-1}\)となる.
\begin{equation}(x^n)'=nx^{n-1}\end{equation}
微分の公式3
\(y=kf(x)\) という形で表せる関数(n:自然数,k:定数)に対し微分すると\(y'=kf'(x)\)となる.
\begin{equation}\{kf(x)\}'=kf'(x)\end{equation}
まずは,復習を重ねてこの4つの公式を覚えましょう!
それぞれの公式に対して例題をいくつか用意したのでそれらを使ってまずは公式に慣れてみてください!(^^)!
公式1 例題
\begin{equation}y=x^2 \rightarrow y'=2x^{2-1}=2x\end{equation} \begin{equation}y=x^3 \rightarrow y'=3x^{3-1}=3x^2\end{equation} \begin{equation}y=x^4 \rightarrow y'=4x^{4-1}=4x^3\end{equation}公式2 例題
\begin{equation}y=2 \rightarrow y'=0\end{equation} \begin{equation}y=4 \rightarrow y'=0\end{equation} \begin{equation}y=6 \rightarrow y'=0\end{equation}公式3 例題
\begin{equation}y=3x^2 \rightarrow y'=3×(x^2)'=3×2x=6x\end{equation} \begin{equation}y=4x^3 \rightarrow y'=4×(x^3)'=4×3x^2=12x^2\end{equation} \begin{equation}y=6x^4 \rightarrow y'=6×(x^4)'=6×4x^3=24x^3\end{equation}公式4 例題
\begin{equation}y=3x^2+2x \rightarrow y'=(3x^2)'+(2x)'=6x+2\end{equation} \begin{equation}y=4x^3+3 \rightarrow y'=(4x^3)'+(3)'=12x^2\end{equation} \begin{equation}y=6x^4-2x^2 \rightarrow y'=(6x^4)'-(2x^2)'=24x^3-4x\end{equation}---------------------------------------------------------
本日はここまでです!
人によってボリューム感は異なるかもしれませんが,初めての人にとっては,急に4つも公式が出てきて大変かと思って,公式の紹介と例題で終わらせておきます(._.)
(めっちゃ重要な公式なので忘れないようにお願いします！）
次回は補足的な内容で必須ではないですが,今日紹介した公式の証明を行いたいと思います!内容的には少しハードですので見飛ばして頂いても構わないです!
それでは,また次回お会いしましょう!(^^)!
