数学Ⅱ 微分編① 極限の考え方
本日で3回目の投稿です！(^^)/
分かりやすく伝えていこうと思います！
途中で簡単な例題も紹介しますので,お手元に紙とペンを準備して読み進めてください。
本日お話しする流れです!(^^)!
関数の極限(連続関数の基本)
ある関数f(x)において,定数αが限りなく近づくとき,関数f(x)の値が
一定の値βに近づく.こういった状況を表現するには...
↓
\[\lim_{x\rightarrow \alpha }f(x)=\beta\]
このときのβは極限値と呼ばれます。覚えておきましょう！
例題
\(f(x)=2x+1\)について\(\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\)を考える.
グラフからわかる通りxを3に近づけるとf(x)は7に近づくことが分かります.
このことを式で表すと次のようになります.
\begin{align} \lim_{x\rightarrow 3}f(x) &=\lim_{x\rightarrow 3}(2x+1) \\\\&=2\times 3+1 \\\\&=7 \end{align}
point
連続的な関数は代入することで簡単に解くことが出来ます！
練習問題
次の極限値を求めよ
(1)\(\lim_{x\rightarrow 8}(x)\)
(2)\(\lim_{x\rightarrow -1}(x-3)\)(3)\(\lim_{x\rightarrow 2}(x^{3}-7)\)
(4)\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x^3}\)解答(1)
\(\lim_{x\rightarrow 8}(x)=8\)
解答(2)
\(\lim_{x\rightarrow -1}(x-3)=-1-3=-4\)
解答(3)
\(\lim_{x\rightarrow 2}(x^{3}-7)=2^3-7=1\)
解答(4)
\(\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2}{x^3}=\frac{1}{4}\)
関数の極限(分数関数の不定形)
ここでいう不定形とは分子と分母の極限値がともに0というふうに思っていただければ問題ないです！
例題
\(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\)について\(\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\)を考える.
とりあえず、これまで通り代入してみましょう！
\begin{align}\lim_{x\rightarrow 2}(\frac{x^2-4}{x-2})=\frac{0}{0}\end{align}
あれれ、分子も分母も0になっちゃいましたね( ;∀;)
実際にグラフを見てみると分母が0になるx=2の点は除かれているんですよね...
おやおや、分子は因数分解ができるようですね！やってみましょう!(^^)!
\begin{align}\lim_{x\rightarrow 2}(\frac{x^2-4}{x-2})&=\lim_{x\rightarrow 2}(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2})\\\\&=\lim_{x\rightarrow 2}(x+2)\\\\&=4\end{align}
因数分解をして約分をすることで解が求まりました(^_-)-☆
point
代入して分子も分母も0になる時は,因数分解して約分をしましょう
補足説明（約分をしてよい理由）
Q,分数でダメなときはいつ？ ⇒A,分母の値が0になる時はNG!!
つまり,0にならなければ問題ない.
つまり,0にならなければ問題ない.
さっき解いた例題だとx→2はxが2のときではなくxが2に近づくときのことなので分母は0じゃないことから約分して消すことができるという考えです！
練習問題
次の極限値を求めよ
(1)\(\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{x^2-9}{x+3})\)
(2)\(\lim_{x\rightarrow 2}(\frac{x^3-8}{x^2-4})\)
(3)\(\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x^3}{x})\)
解答(1)
\begin{align}\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{x^2-9}{x+3})=\lim_{x\rightarrow 3}(\frac{(x+3)(x-3)}{x+3}\lim_{x\rightarrow 3}(x-3)&=0\end{align}
解答(2)
\begin{align}\lim_{x\rightarrow 2}(\frac{x^3-8}{x^2-4})=\lim_{x\rightarrow 2}(\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x+2)(x-2)}\lim_{x\rightarrow 2}(\frac{x^2+2x+4}{x+2})=3\end{align}
解答(3)
\begin{align}\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{x^3}{x})=\lim_{x\rightarrow 0}(x^2)=0\end{align}
本日の内容はここまでです！
今回習った内容は次回の「微分係数」のお話で再び登場しますので
次回の記事を見る際は一度戻ってきて振り返っていただければと思います(^^)/
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